Kvadratna funkcija

Kvadratna funkcija je matematička funkcija koja se može zapisati u obliku:

$$f(x)=a{x}^2+bx+c$$

Gdje su:

• a, b, i c koeficijenti, pri čemu je a različito od nule,
• x je nepoznanica (varijabla),
• f(x) je vrijednost funkcije za određenu vrijednost x.

Graf kvadratne funkcije

Graf kvadratne funkcije je krivulja koja se zove parabola. Ovisno o znaku koeficijenta a, parabola može imati dva različita oblika:

• Ako je a > 0, parabola je okrenuta prema gore (nalikuje “smiješku”).
• Ako je a < 0, parabola je okrenuta prema dolje (nalikuje “tužnom licu”).

Vršna točka (vrh) parabole

Parabola ima vršnu točku, koja je najniža ili najviša točka na grafu, ovisno o smjeru u kojem je okrenuta. Ta točka se zove vrh parabole, a njene koordinate možemo izračunati pomoću formule za x koordinatu:

$$x = -\frac{b}{2a}$$

Kad imamo x koordinatu vrha, možemo ubaciti tu vrijednost u funkciju i izračunati y koordinatu vrha.

Nule kvadratne funkcije

Nule kvadratne funkcije (mjesta gdje parabola siječe x-os) su vrijednosti x za koje vrijedi f(x) = 0. To su rješenja kvadratne jednadžbe:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

Nule kvadratne funkcije mogu se izračunati pomoću kvadratne formule:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$

Ovisno o diskriminanti (D = b^2 – 4ac), možemo imati:

• D > 0: Dva različita rješenja (parabola siječe x-os u dvije točke),
• D = 0: Jedno rješenje (parabola dotiče x-os u jednoj točki),
• D < 0: Nema realnih rješenja (parabola ne siječe x-os).

Primjer kvadratne funkcije

Za funkciju:

$$f(x) = 2x^2 – 4x + 1$$

• Koeficijenti su: a = 2, b = -4, c = 1.
• Graf je parabola okrenuta prema gore jer je a > 0.
• Nule možemo izračunati kvadratnom formulom, a vrh parabole pomoću formule za x koordinatu vrha.

Zaključak

Kvadratne funkcije su važan dio matematike jer opisuju mnoge prirodne pojave, poput bacanja lopte ili gibanja predmeta pod utjecajem sile gravitacije. Graf kvadratne funkcije uvijek je parabola, a rješenja jednadžbe daju nam točke u kojima graf siječe x-os.