Logaritmi

Logaritmi su matematičke funkcije koje predstavljaju inverznu operaciju potenciranja. U osnovi, logaritam broja daje eksponent kojem je određena baza potencirana da bi se dobio taj broj.

Opća forma logaritma je:

$$\log_b(x) = y$$

To znači da je

$y$

 eksponent kojem treba potencirati bazu

$b$

 da bi se dobio broj

$x$

Drugim riječima:

$$b^y = x$$

Glavne vrste logaritama:

1. Dekadski logaritam (log):

   • To je logaritam s bazom 10.
     
     
   • Oznaka:
     $\log (x)<span\; style="font-style:\; inherit;\; font-weight:\; inherit;\; color:\; var(\; --e-global-color-text\; );\; font-family:\; Montserrat,\; sans-serif;"><br></span>\mathrm{<span\; style="color:\; var(\; --e-global-color-text\; );\; font-family:\; Montserrat,\; sans-serif;\; font-style:\; inherit;\; font-weight:\; inherit;"> ili</span>}<span\; style="font-style:\; inherit;\; font-weight:\; inherit;\; color:\; var(\; --e-global-color-text\; );\; font-family:\; Montserrat,\; sans-serif;"><br></span>$ $\log_{10}(x)$

     
     

   • Primjer:
     $\log_{10}(1000) = 3$

     
     jer je

     $10^3 = 1000$

     
     

2. Prirodni logaritam (ln):

   • To je logaritam s bazom e

      (Eulerov broj, približno 2.718).

   • Oznaka:
     $\ln(x)$

     
     

   • Primjer:
     $\ln(e) = 1$

     
     jer je

     $e^1 = e$

     
     

3. Logaritam s proizvoljnom bazom:

   • Logaritam može imati bilo koju pozitivnu bazu osim 1.
   • Oznaka:
     
     $\log_b(x)$

     
     

   • Primjer:
     $\log_2(8) = 3$

     
     jer je

     $2^3 = 8$

     
     

Osnovna pravila logaritama:

1. Produkt:

   $$\log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y)$$

   
   

   Logaritam produkta dvaju brojeva jednak je zbroju njihovih logaritama.

2. Kvocijent:

   $$\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) – \log_b(y)$$

   
   

   Logaritam kvocijenta jednak je razlici logaritama brojeva.

3. Potencija:

   $$\log_b(x^k) = k \cdot \log_b(x)$$

   
   

   Logaritam potencije jednak je umnošku eksponenta i logaritma baze.

4. Promjena baze:

   $$\log_b(x) = \frac{\log_k(x)}{\log_k(b)}$$

   
   

   Ova formula omogućuje izračunavanje logaritma u bilo kojoj bazi koristeći logaritme u drugoj bazi (najčešće 10 ili e ).

Primjene:

Logaritmi se široko koriste u različitim znanstvenim područjima, uključujući matematiku, fiziku, biologiju, financije i računarstvo. Neki od glavnih primjera primjene logaritama uključuju rješavanje eksponencijalnih jednadžbi, mjerene skale (npr. Richterova skala za mjerenje potresa) i analizu podataka rasta.