Kompleksni brojevi

Kompleksni brojevi su proširenje skupa realnih brojeva i koriste se za rješavanje jednadžbi koje nemaju rješenja u skupu realnih brojeva. Osnovni oblik kompleksnog broja je:

$$z = a + bi$$

Gdje:

• $a$a je realni dio kompleksnog broja,
• $b$b je imaginarni dio kompleksnog broja,
• $i$i je imaginarna jedinica, definirana kao $i^2=-\mathrm{1<span\; style="color:\; var(\; --e-global-color-text\; );\; font-family:\; Montserrat,\; sans-serif;\; font-style:\; inherit;\; font-weight:\; inherit;"><br></span>}$

Kompleksni brojevi se često prikazuju u kompleksnoj ravnini, gdje je realni dio na horizontalnoj osi, a imaginarni dio na vertikalnoj osi.

Svojstva kompleksnih brojeva:

1. Zbrajanje i oduzimanje: Kompleksni brojevi se zbrajaju i oduzimaju tako da se zasebno zbrajaju/oduzimaju realni i imaginarni dijelovi.

   $$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)\mathrm{i<br><br>}$$

2. Množenje: Množenje dva kompleksna broja uključuje širenje izraza poput binoma, uz korištenje pravila $i^2 = -1$.

   $$(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac – bd) + (ad + bc)i$$

3. Kompleksno konjugiranje: Kompleksni broj $z = a + bi$ima svoj kompleksni konjugat $\overline{z} = a – bi$, koji se koristi u mnogim matematičkim operacijama.

Kompleksni brojevi su važni u mnogim područjima matematike i fizike, uključujući električne krugove, valne funkcije, kvantnu mehaniku i analizu signala.